【抛物线压轴题】等腰三角形存在性

老杨有话说

 对于初三生而言，往年的中考试卷、模拟卷都具有很高的参考价值。而数学又是重中之重，做数学试卷，经常会遇到几个较难的题目，通常是选择第9第10题，填空14、15题和大题22题（类比探究）、23题（抛物线综合题）。此类问题有一个响亮的名号——“压轴题”。通常会综合许多知识点进行考察。学生独立解决有时难度较大，因此，老杨决定用几讲的时间为大家精选部分模拟卷上的压轴题——“老杨讲压轴”系列，有时间的话就录制微课上传到这里，供大家学习。

老杨讲压轴 第04讲

抛物线压轴题

等腰三角形存在性2018.4.7 [难度：☆☆]

（2016•临沂）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝−2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA＝QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解法提示

考点：

二次函数综合题 

分析：

（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

发现△ABC为直角三角形，可运用勾股定理的逆定理判定△ABC为Rt△.方便第（2）问使用。

方法一：

借助△ABC为直角三角形，可根据运动表示出OP＝2t，CQ＝10−t，判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP＝CQ即可；（见标准答案解法）

方法二：

若未证明△ABC为直角三角形，则由BQ=t,借助∠OBC的三角函数，可表示点Q坐标，然后用勾股定理或两点间距离公式表示线段PA和QA，令其相等，建立关于t的一元二次方程，求出t.（见手写参考答案解法）

两点间的距离公式

（3）用平面坐标系内两点间的距离公式求解。分别表示AB、AM、BM的平方，再分三种情况进行讨论即可。

等腰三角形存在性相关练习题：

参考解答

（2）的标准答案解法

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